Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

TeX code compiled with \documentclass{beamer} using the Amsterdam theme.
There are four png images needed to compile slides:

contour1.png

contour2.png

astroid.png

lemniscate.png

\begin{document} \begin{frame}     \large Draw a graph of $x=\sin y$ and find the slope of the line tangent to the graph       at the point $(0,\pi)$.     \vskip 45pt     Find $dx/dy$ and $dy/dx$ if $y\sec(x) = 6x\tan(y)$. \end{frame} \begin{frame}     \large Find $dy/dx$ by implicit differentiation.     \vskip 15pt     \begin{columns}     \begin{column}{0.5\textwidth}     \begin{enumerate}     \item[\bf a)] $x^4+y^3=1$     \vskip 30pt     \item[\bf b)] $7x^2 + 5xy - y^2 = 6$     \vskip 30pt     \item[\bf c)] $x^7(x + y) = y^2(4x ? y)$     \end{enumerate}     \end{column}     \begin{column}{0.5\textwidth}     \begin{enumerate}     \item[\bf d)] $4 \cos(x) \sin(y) = 2$     \vskip 30pt     \item[\bf e)] $5y\sin(x^2) = 9x\sin(y^2)$     \vskip 30pt     \item[\bf f)] $\sqrt{7x+y}=6+x^2y^2$     \end{enumerate}     \end{column}     \end{columns} \end{frame} \begin{frame}     \large Explain (without calculating) why the two following equations will yield the      same formula for $dy/dx$. Does this mean that the two graphs will have exactly the      same tangent lines?     $$ x^3y+y^2+y=1$$     $$ x^3y+y^2+y=-1$$     \begin{columns}     \begin{column}{0.5\textwidth}         \includegraphics[height=5cm]{contour1.png}     \end{column}     \begin{column}{0.5\textwidth}         \includegraphics[height=5cm]{contour2.png}     \end{column}     \end{columns} \end{frame} \begin{frame}     \large Find an equation of the tangent line to the ellipse     $$9x^2 + xy + 9y^2 = 19$$     at the point  $(1, 1)$.     \vskip 20pt     Find an equation of the tangent line to the {\bf astroid} $x^{2/3}+y^{2/3} = 4$       at $(-3\sqrt{3},1)$.     \begin{center}     \includegraphics[height=4cm]{astroid.png}     \end{center} \end{frame} \begin{frame}     \large Find the points on the {\bf lemniscate} $8(x^2+y^2)^2=25(x^2-y^2)$ where the      tangent is horizontal.     \begin{figure}[htp] \centering{         \includegraphics[height=4cm]{lemniscate.png}}     \end{figure} \end{frame} \begin{frame}     \large If $f(x) + x^2[f(x)]^3 = 10$ and $f(1) = 2$, find $f '(1)$.     \vskip 50pt          Find $dx/dy$ and $dy/dx$ and $dz/dx$ if $$y\sec(z) = 6x\tan(y).$$ \end{frame} \begin{frame}     \large Find $y''$ by implicit differentiation.     $$4x^2+y^2=9$$ \end{frame} \begin{frame}     \large When we introduced the Power Rule, we explained it for $y=x^n$ when $n$ is a      nonnegative integer, and we promised that later we'd explain it when $n$ is a rational      and/or negative number. The moment has come. In the following, you should use the Power      Rule {\bf only for  $n$ a nonnegative integer} to prove it the Power Rule for all      rational numbers.          \begin{enumerate}[a)]     \item Warm-up: write $y=x^\frac{2}{3}$ as $y^3=x^2$. Then use Implicit Differentiation      to show $y'=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.          \item Let $y=x^\frac{p}{q}$, where $p$ and $q$ are positive integers. Use the same      method as the previous problem to show $y'=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}$.          \item Warm-up: write $y=x^{-1}$ as $xy=1$. Then use Implicit Differentiation to show      $y'=-x^{-2}$.          \item Let $y=x^{-a}$, where $a$ is a positive rational number. Use the same method      as the previous problem to show     $y'=-ax^{-a-1}$.     \end{enumerate} \end{frame} \begin{frame}     \large When you solve for $y'$ in an implicit differentiation problem,      you have to solve a quadratic equation     \begin{enumerate}     \item always     \item sometimes     \item never     \end{enumerate} \end{frame} \begin{frame}     \large Find equations of both the tangent lines to the ellipse     $$x^2 + 9y^2 = 81$$     that pass through the point $(27, 3)$. \end{frame} \begin{frame}     \large  The Thin Lens Equation in optics relates the focal length $f$ of a lens, the  distance $a$ from an object to the lens, and the distance $b$ from the object's  image to the lens. The equation is $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$ Let's say you have a lens with focal length $10$ cm. \begin{itemize} \item[\bf (a)] Which of the following derivatives describes the rate at which  the position of the image changes as you move the object? \centerline{   $\dfrac{da}{db}$\qquad $\dfrac{db}{da}$\qquad $\dfrac{da}{df}$   \qquad $\dfrac{df}{da}$} \item[\bf (b)] If the object is 20 centimeters from the lens and moving away from  the lens, where is the object's image and in what direction is it moving? \end{itemize} \end{frame} \end{document}